Gốc > Bài viết > Chia sẻ kinh nghiệm >
Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm
Mục lục: A - Phần mở đầu: 2B - Nội dung I - Lý thuyết: 3 II - Bài tập có hướng dẫn: 3 III - Bài tập tự giải: 6C - Kết quả - Kết luận: 8 Tài liệu tham khảo:
A. PHẦN MỞ ĐẦU Muốn công nghiệp hoá hiện đại hóa đất nước thì nhân tố không thể thiếu đó là con người. Trong thời kì đổi mới của đấ nước thì một trong những yêu cầu của nền giáo dục là phải tạo ra những con người lao động mới , đó là những con người linh hoạt ,sáng tạo, biết khắc phục khó khăn, họ sẳn sàng tiếp nhận cái mới , những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiển đất nước .Vậy làm thế nào để phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.Hiện nay sách giáo khoa môn Toán mới được biên soạn theo hướng đổi mới , phương pháp dạy học hiện nay là : Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh ,khơi dậy và phát triển khả năng tự học , nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm , đem lại niềm viu và hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt là đối với học sinh khá và giỏi.Trong quá trình dạy học ,tôi nhận thấy “ứng dụng định lý Roll, Lagrange vào giải toán” là rất khó không chỉ với học sinh mà cả đối với giáo viên ,nhưng nó lại kích thích được tính sáng tạo ,lòng đam mê học tập bộ môn ,góp phần xây dựng nhân cách con người lao động mới.Để giúp học sinh có thể tích cực đọc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và phát triển khả năng tự học tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ ứng dụng định lý Roll, Lagrange vào việc chứng minh phương trình có nghiệm”. B. NỘI DUNGI - LÝ THUYẾT
II - MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Xét hàm số khả vi và liên tục trên đoạn và :+/ F’(x) = ax2 + bx + c +/ khi đó sao cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Xét hàm số khả vi và liên tục trên đoạn và :+/ F’(x) = x2005 (ax2 + bx + c)+/ khi đó sao cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số : khả vi và liên tục trên khoảng (0; 1).
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Biến đổi phương trình về dạng: Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Xét hàm số khả vi và liên tục trên
Giải:Đặt f(x) = x3 – 3x + c . Ta có f là hàm khả vi trên . Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt Lúc đó Sử dụng định lí Rolle cho f trên , tồn tại .Mặta có f’(x) = 3x2 – 3. Như vậy f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1 hay x = -1. Nhưng 0 < c < 1, đây là một điều mâu thuẩn .Vậy phương trình đã cho không thể có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với bất kì số thực c nào :
GiảiĐặt . Ta có f(1) = f(0) = 0. Sử dụng định lí Rolle cho f trên , tồn tại sao cho . Mặt khác¸ f’(x) = P(x) nên P(c)=0 . Nói cách khác đa thức đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).
HD: Đặt : Khả vi và liên tục trên đoạn .
Giải.Ta chứng minh bằng quy nạp Với n = 1, phương trình không có nghiệm thuộc .Giả sử với phương trình Có nhiều nhất n – 1 nghiệm thuộc .Xét phương trình: (*)Viết (*) dưới dạng: (**)Nếu phương trình (**) có hơn n nghiệm dương thì theo định lí Rolle đạo hàm của hàm số ở vế trái có ít nhất n nghiệm dương .Điều này mâu thuẫn giả thiết quy nạp . 2) (Tù s¸ng t¸c)
Đinh Tiên Hoàng @ 22:26 02/12/2010
Số lượt xem: 3715
| Tên tài liệu | Tác giả |
| Phương pháp giải phương trình vô tỉ: | Lê Hồng Đức ( chủ biên ) |
| Phương pháp giải phương trình lượng giác: | Lê Hồng Đức ( chủ biên ) |
| Tài liệu tập huấn giáo viên cốt cán | Lương Hà |
| Định lí Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn và F’(x) tồn tại trên (a; b) thì luôn sao cho: Nhận xét: 1/ Nếu thì 2/ Nếu F(b) – F(a) = 0 thì sao cho phương trình F’(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b). Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b) ta tiến hành như sau:+/ Xác định hàm số F(x) khả vi và liên tục trên và thỏa mãn:(i). F’(x) = f(x)(ii). F(b) – F(a) = 0+/ Khi đó sao cho : hay phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b) Định lí Rolle.Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn và F’(x) tồn tại trên (a; b) . Nếu F’(a) = F’(b) thì luôn sao cho: . |
| Bài 1. Giả sử 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). |
| Bài2. Giả sử : Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). |
| Bài 3. Chứng tỏ rằng với : a + b – c = 0 phương trình: Luôn có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1). |
| Bài 4. Chứng tỏ rằng với phương trình : luôn luôn có một nghiệm lớn hơn 1. |
| Bài 5. Chứng tỏ rằng với phương trình: luôn luôn có một nghiệm dương. |
| Bài 6. Chứng tỏ rằng với phương trình: luôn luôn có ít nhất một nghiệm |
| Bài 7.Chứng tỏ rằng với phương trình: luôn luôn có ít nhất một nghiệm |
| Bài 8.Chứng tỏ rằng với phương trình: luôn luôn có ít nhất một nghiệm . |
| Bài 9. Chứng minh rằng phương trình : có nghiệm với mọi a, b, c. |
| Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: x3 – 3x + c = 0 không thể có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với bất kì số thực c nào: |
| Bài 11. Cho là những số thực sao cho : Chứng minh rằng đa thức : có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). |
| Bài 12. Cho là những số thực sao cho : .chứng minh rằng đa thức : có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; e2) |
| Bài 13. Giả sử là những số thực đôi một khác nhau và là những số thực khác không .Chứng minh rằng phương trình: Có nhiều nhất n- 1 nghiệm thuộc . |
Cho a, b, c Î R víi a ¹ 0 vµ m ÎN* tho¶ m·n:
.
Chøng minh r»ng:
§å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t trôc ox t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc kho¶ng (0;1).
2) (2 ®iÓm)
XÐt hµm sè f(x) = víi a ¹ 0 vµ m N*
Lµ hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm lµ:
f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 víi "xÎR
Ta tÝnh ®îc f(0) = 0 vµ f(1) = (do gi¶ thiÕt)
Theo ®Þnh lý Lagr¨ng: tån t¹i x0 Î(0;1) sao cho f’(x0) =
=> ax = 0
=> x => ax40 + bx20 + c = 0
Tøc lµ pt: ax4 + bx2 + c = 0 cã nghiÖm x0 Î(0;1)
Hay ®å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t ox t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm thuéc (0;1)
III - BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1: Cho m>0 và CMR phương trình có nghiệm thuộc .Bài 2: Cho CMR phương trình có nghiệm thuộc . Bài 3: CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi số a,b,c,d.Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Cho có đạo hàm trên CMR phương trình có ít nhất một nghiệm trên .Bài 6: Cho f(x) khả vi trên và phương trình f'(x)=0 có đúng một nghiệm trên . CMR phương trình f(x)=0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt trên .Bài 7: Cho a-b+c=0 .CMR phương trình có ít nhất 4 nghiệm phân biệt thuộc .Bài 8: CMR phương trình có ít nhất 7 nghiệm trên .Bài 9: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n trên . CMR nếu pt f(x)=0 có n+1 nghiệm phân biệt trên thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên .Bài 10: CMR phương trình luôn có nghiệm trong với mọi a,b,c,d.Bài 11: CMR nếu phương trình có nghiệm dương thì phương trình cũng có nghiệm dương , . Bài 2: (2.5 điểm) Cho P(x) là đa thức bậc n (n >1) và có n nghiệm phân biệt x1, x2, ..., xn. P’(x) là đạo hàm của P(x). a/ Chứng minh phương trình P’(x) = 0 có n -1 nghiệm phân biệt. b/ Kí hiệu Pi(x) là đa thức sao cho: P(x) = (x – xi).Pi(x) (i = 1,2,...,n) Rút gọn biếu thức: . Bài 2: (2.5 điểm)Câu a ( 1.0 đ)· Ta có thể giả sử: x1 < x2 < x3 < ... < xn, áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số liên tục P(x) trên các đoạn [x1 ; x2] , [x2 ; x3], ...., [xi ; xi+1], ..., [xn-1 ; xn] ta tồn tại n – 1 số: sao cho P’(ci) = 0. Vậy phương trình P’(x) = 0 có n – 1 nghiệm phân biệt.Câu a ( 1.0 đ)· P(x) = a(x – x1)(x - x2) ...(x - xn) (a’ ¹ 0)P’(x) = a(x – x2)(x – x3) ...(x - xn) + a(x – x1)(x – x3) ...(x - xn) + ...+a(x – x1)(x – x2) ...(x - xn-1)Do đó: P’(x) = P1(x) + P2(x) +...+ Pn(x).P’(xi) = Pi(xi) ¹ 0 (1) vì Pk(xi) = 0 với k ¹ i, .· là đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n – 1.· Theo (1) ta có: Q(x) = 1, với . Điều này chứng tỏ Q(x) = 1.Đinh Tiên Hoàng @ 22:26 02/12/2010
Số lượt xem: 3715
Số lượt thích:
0 người
Chào mừng quý vị đến với website của tôi
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành
viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của
Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Các ý kiến mới nhất